수산자원에서의 수리모델이란
인간이 해양을 관찰하는 데는 물리적 한계가 있기에, 수산자원의 평가 및 관리를 연구하는 것에는 많은 제약이 존재한다. 이로 인해, 어종의 특성을 분석하여 실제 자원의 변화를 관찰하지 않더라도 자원량의 변화를 간접적으로 분석할 수 있는 전문적인 기술이 필요하다. 수산학자들은 수산자원으로부터 표본을 수집하여 통계학적인 추론으로 자원량을 추정하는 방법을 주로 사용하였다. 그러나 통계자료를 수집하기 위해서 많은 인력과 비용이 필요하기 때문에, 1950년대 이후 수산자원의 개체군 변화를 설명하기 위한 다양한 수리모델들이 개발됐다. 수리모델은 시간에 따른 생물의 조직적 행동 패턴이나 개체 수의 변화와 같이, 자연적인 현상을 추정하거나 묘사할 수 있는 방정식 또는 공식이다. 수산학에서 사용되는 수리모델은 결정론적(Deterministic) 모델과 확률론적(Stochastic) 모델로 구분되며, 각 모델은 시간의 연속성 유무에 따라서 이산모델과 연속모델로 나누어진다. 수리모델을 이용한 시뮬레이션은 개체의 변화를 예측하고, 수산자원을 평가하고 관리하는 데 유용한 도구가 된다.

수리모델의 활용
초기의 수산자원 역학연구자들 중 맬서스(T.R. Malthus)는 인간에 초점을 맞춰 지수함수 인구 성장모델을 개발했으며, 이후 벨허스트(Verhulst)가 로지스틱 성장 모델을 유도해냈다. 초기 모델들에서는 개체군 단위에서 자원량 변화의 생물학적 요인을 크게 재생산, 성장, 사망률로 정의하여 개체군 단위의 연령구조모델(Age-structure model)을 분석하는 것이 주류였다. 또한, 천적관계를 형성하는 수산생물의 경우 연령구조모델보다는 피식자-포식자 모델(Prey-predator model)이 적용됐다. 수산생물은 종류에 따라서 선호하는 환경이나 수온 등이 존재하는데, 기후변화의 영향으로 해양의 수온 변화가 비교적 크게 발생하여 어종들의 서식지역이 최근 많이 바뀌고 있다. 이러한 수산자원의 공간적인 분포를 편미분방정식 형태의 반응-확산 모델(Reaction-Diffusion Model)로 표현할 수 있다. 특정 개체군에 대한 자원량 분석뿐 아니라 불특정다수의 개체군에 대한 자원량 추정도 저층트롤어획조사를 통한 자원량 데이터를 활용하여 지구 수리 통계모델을 적용함으로써 추정할 수 있다. 우리나라 특정 지역의 저층트롤어획조사 자료를 통해 우리나라 해안 전체 영역의 부유생물 수산자원량을 예측하기 위해서는 다양한 보간방법 중에서도 지형 및 위치를 보간할 수 있는 지구수리 통계학을 사용해야 한다. 지구수리 통계학에는 다양한 크리깅(Kriging) 방법이 존재하는데, 정규 크리깅, 코크리깅, IRF-k 크리깅 등 다양한 방법이 존재한다. 또한, 정상(Stationary) 가우시안 방법과 상관관계 함수 등을 통해 우리나라 해양의 수산자원을 예측할 수 있다.

수산자원의 평가 및 관리
그림 1과 같이 자원평가의 순서는 크게 자료수집, 성장률, 재생산량, 사망률 및 주요지수 추정, 자원량 추정 및 예측과 자원관리로 이루어진다. 성장률과 재생산량은 나무의 나이테와 같은 역할을 하는 어류의 이석(Otolith)을 이용하여 추정하고, 이 데이터를 바탕으로 연령을 추정한다. 연령에 따른 몸길이와 포란(抱卵) 수는 회귀분석을 통해서 추정할 수 있다. 사망률은 자연사망률(Natural mortality)과 어획사망률(Fishing mortality)로 구분할 수 있으며 자연사망률은 인위적인 어획을 제외한 사망으로 정의된다. 한 어종에 대한 자원량을 추정하는 데 중요한 요소 중 하나가 그 어종에 대한 자연 사망률을 예측하는 것이다. 자연 사망률을 예측하는 방법은 1980년대에 활발하게 연구되었고 그때의 연구결과들이 최근까지 자연사망률에 대한 연구의 기초가 되고 있지만, 아직 정확한 자연사망률을 추정하는 방법은 개발되지 않았다. 최근에는 자연사망률의 추정뿐 아니라 개체군의 서식지 및 이동 경로를 분석하기 위해서 전자추적장치와 같은 장비를 활용하고 있다.
그림 1의 수산자원 평가뿐 아니라 수리모델을 이용하면 수학적 분석을 활용하여 다양한 생물학적인 해석을 할 수 있다. 수리모델을 이용하여 계산할 수 있는 재생산지수는 한 개체가 평생 재생산하는 평균 개체 수로서 이 값이 1보다 크면 자원량이 증가하고, 1보다 작으면 자원량이 감소한다. 개체군 수준의 연령구조모델과 피식자-포식자 모델에서는 자코비안 행렬(Jacobian matrix)의 고윳값(Eigenvalue)에 따라서 자원량의 증감과 피식자와 포식자의 공존 여부를 해석할 수 있다. 또한, 수리모델의 균형점에 대한 안정성 분석을 통해, 지속해서 어획할 수 있는 가장 많은 연간 생산량을 의미하는 최대 지속적 생산량(MSY, Maximum Sustainable Yield)을 계산할 수 있다.
단순히 수산자원의 유지 및 관리를 위해서는 자원을 유지하면서 최대한 많이 어획하는 것이 최적의 전략이라고 할 수 있다. 그러나 어민들의 입장에서는 어획량을 최대화하기보다는, 적은 비용을 들여서 높은 가격으로 수산자원을 파는 것, 다시 말해 최대의 수익을 올리는 것이 더 큰 목적이다. 이 경우 수학적 기법인 최적화 이론(Optimal Control Theory)을 적용할 수 있다. 최적화 이론은 복잡한 생활학적 환경에서 전략을 결정할 때 사용될 수 있는 유용한 수학적 도구이다. 일반적으로 어획사망률은 어획률과 어획노력량의 곱으로 나타낼 수 있는데, 제어함수로 어획노력량을 정의함으로써 수리모델을 최적제어문제로 변형할 수 있다. 이 문제의 해법으로 벨맨(Bellman)에 의해 소개된 동적계획(Dynamic programming) 방법과 최적제어함수에 대한 필요조건을 이용하는 폰트랴긴 최대원리(Pontryagin maximum principle) 이론을 적용하는 방법이 있다.

해양생태계 수리모델로의 확장
해양생태계는 시간적 및 공간적으로 매우 다양하게 변화하는 특성이 있다. 해양생태계의 생물체 간의 상호작용뿐 아니라 생물체와 물리화학적 환경요소 간의 작용이 수산자원에 영향을 미친다(그림 2). 기존의 어업 관리는 생물학적 한계 내에서 주어진 생태계로부터 수산자원을 얼마만큼 어획하는지 결정하는 것이었다. 그러나, 생태계를 고려한 관리는 자원을 어획함이 생태계에 미칠 수 있는 영향과 이에 따른 생산량의 변화를 예측하고, 해양생태계를 건강하게 유지하면서 생태계를 지속적으로 보존 및 이용하는 것이다. 최근에 생태계의 특성치를 기초로 구성생물들의 시간에 따른 변동을 분석할 수 있는 생태계 역학 모델이 개발되고 있다. 이에 따라 수산자원 예측을 위해서 해수의 영양 정도, 전적관계, 지형, 해류 및 바람 등의 다양한 해양환경조건이 요구됨에 따라서 개체군 및 군집 단위의 수리모델을 분석하는 것에서 생태계 기반 수리모델링이 요구될 전망이다.